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§10.3 二项式定理

发表日期:2020-12-11 作者:沈阳家教网 电话:159-4009-3009

2.二项式系数的性质

(1)Cn(0)1Cn(n)1.

Cn+1(m)Cn(m-1)Cn(m).

(2)Cn(m)Cn(n-m).

(3)n是偶数时,项的二项式系数最大;当n是奇数时,项的二项式系数相等且最大.

(4)(ab)n展开式的二项式系数和:Cn(0)Cn(1)Cn(2)Cn(n)2n.

概念方法微思考

1(ab)n(ba)n的展开式有何区别与联系?

提示 (ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.

2.二项展开式形式上有什么特点?

提示 二项展开式形式上的特点

(1)项数为n1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即ab的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从Cn(0)Cn(1),一直到Cn(n-1)Cn(n).

3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗?

提示 不一定最大,当二项式中ab的系数为1时,此时二项式系数等于项的系数,否则不一定.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)

(1)Cn(r)anrbr是二项展开式的第r项.( × )

(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )

(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与ab无关.(  )

(4)(ab)n的展开式第r1项的系数为Cn(r)anrbr.( × )

(5)(x1)n的展开式二项式系数和为-2n.( × )

题组二 教材改编

2(12x)5的展开式中,x2的系数等于(  )

A80  B40  C20  D10

答案 B

解析 Tr1C5(r)(2x)rC5(r)2rxr,当r2时,x2的系数为C5(2)·2240.

3.若x(1)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为(  )

A10  B20  C30  D120

答案 B

解析 二项式系数之和2n64,所以n6Tr1C6(r)·x6r·x(1)rC6(r)x62r,当62r0,即当r3时为常数项,T4C6(3)20.

4.若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,则a0a2a4的值为(  )

A9  B8  C7  D6

答案 B

解析 x1,则a0a1a2a3a40,令x=-1,则a0a1a2a3a416,两式相加得a0a2a48.

题组三 易错自纠

5(xy)n的二项展开式中,第m项的系数是(  )

ACn(m)   BCn(m+1)

CCn(m-1)   D(1)m1Cn(m-1)

答案 D

解析 (xy)n二项展开式第m项的通项公式为

TmCn(m-1)(y)m1xnm1

所以系数为Cn(m-1)(1)m1.

6.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1a2a3ak(1k11kN)是一个单调递增数列,则k的最大值是(  )

A5  B6  C7  D8

答案 B

解析 由二项式定理知,anC10(n-1)(n1,2,311)

(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,

所以a6C10(5),则k的最大值为6.

7(xy)4的展开式中,x3y3项的系数为________

答案 6

解析 二项展开式的通项是Tr1C4(r)(x)4r·(y)r(1)rC4(r),令42(r)22(r)3,解得r2,故展开式中x3y3的系数为(1)2C4(2)6.

题型一 二项展开式

 

命题点1 求指定项(或系数)

1 (1)(2017·全国)x2(1)(1x)6的展开式中x2的系数为(  )

A15  B20  C30  D35

答案 C

解析 因为(1x)6的通项为C6(r)xr,所以x2(1)(1x)6的展开式中含x2的项为1·C6(2)x2x2(1)·C6(4)x4.

因为C6(2)C6(4)2C6(2)2×2×1(6×5)30

所以x2(1)(1x)6的展开式中x2的系数为30.

故选C.

(2)(x24)5的展开式中,含x6的项为________

答案 160x6

解析 因为(x24)5的展开式的第r1项的通项公式为Tr1C5(r)(x2)5r(4)r(4)rC5(r)x102r

102r6,得r2,所以含x6的项为T3(4)2·C5(2)x6160x6.

(3)(x2xy)4的展开式中,x3y2的系数是________

答案 12

解析 方法一 (x2xy)4[(x2x)y]4

其展开式的第r1项的通项公式为Tr1C4(r)(x2x)4ryr

因为要求x3y2的系数,所以r2

所以T3C4(2)(x2x)42y26(x2x)2y2.

因为(x2x)2的展开式中x3的系数为2

所以x3y2的系数是6×212.

方法二 (x2xy)4表示4个因式x2xy的乘积,

在这4个因式中,有2个因式选y,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,

x3y2的系数是C4(2)·C2(1)·C1(1)12.

命题点2 求参数

2 (1)(2018·大连调研)(x2a)x(1)10的展开式中x6的系数为30,则a等于(  )

A.3(1)  B.2(1)  C1  D2

答案 D

解析 由题意得x(1)10的展开式的通项公式是Tr1C10(r)·x10r·x(1)rC10(r)x102rx(1)10的展开式中含x4(r3)x6(r2)项的系数分别为C10(3)C10(2),因此由题意得C10(3)aC10(2)12045a30,由此解得a2,故选D.

(2)ax(1)6的展开式中常数项为16(15),则实数a的值为(  )

A±2  B.2(1)  C.-2  D±2(1)

答案 A

解析 ax(1)6的展开式的通项为Tr1C6(r)(x2)6r·ax(1)rC6(r)a(1)rx123r,令123r0,得r4.

C6(4)·a(1)416(15),即a(1)416(1),解得a±2,故选A.

思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r1,代回通项公式即可.

跟踪训练1 (1)(2017·全国)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为(  )

A.-80  B.-40  C40  D80

答案 C

解析 因为x3y3x·(x2y3),其系数为-C5(3)·22=-40

x3y3y·(x3y2),其系数为C5(2)·2380.

所以x3y3的系数为804040.

故选C.

(2)(xa)10的展开式中,x7项的系数为15,则a______.(用数字填写答案)

答案 2(1)

解析 通项为Tr1C10(r)x10rar,令10r7

r3x7项的系数为C10(3)a315

a38(1)a2(1).

题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题

3 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a____________.

答案 3

解析 (ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5

x1,得16(a1)a0a1a2a3a4a5

x=-1,得0a0a1a2a3a4a5.

,得16(a1)2(a1a3a5)

即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1a3a58(a1),所以8(a1)32,解得a3.

(2)(2018·沈阳质检)(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,且(a0a2a8)2(a1a3a9)239,则实数m的值为________

答案 1或-3

解析 x0,则(2m)9a0a1a2a9

x=-2,则m9a0a1a2a3a9

(a0a2a8)2(a1a3a9)2

(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39

(2m)9·m939m(2m)3

m=-3m1.

(3)x(1)n的展开式中含x的项为第6项,设(13x)na0a1xa2x2anxn,则a1a2an的值为________

答案 255

解析 x(1)n展开式的第r1项为

Tr1Cn(r)(x2)nr·x(1)r

Cn(r)(1)rx2n3r

r5时,2n3r1n8.

(13x)8a0a1xa2x2a8x8

x1,得a0a1a828256.

又当x0时,a01

a1a2a8255.

思维升华 (1)赋值法普遍适用于恒等式,对形如(axb)n(ax2bxc)m (abcR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.

(2)f(x)a0a1xa2x2anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0a2a42(f(1)+f(-1)),偶数项系数之和为a1a3a52(f(1)-f(-1)).

跟踪训练2 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.

求:(1)a1a2a7

(2)a1a3a5a7

(3)a0a2a4a6

(4)|a0||a1||a2||a7|.

解 x1,则a0a1a2a3a4a5a6a7=-1.

x=-1,则a0a1a2a3a4a5a6a737.

(1)a0C7(0)1a1a2a3a7=-2.

(2)()÷2

a1a3a5a72(-1-37)=-1 094.

(3)()÷2

a0a2a4a62(-1+37)1 093.

(4)方法一 (12x)7展开式中,a0a2a4a6大于零,而a1a3a5a7小于零,

|a0||a1||a2||a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.

方法二 |a0||a1||a2||a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和,令x1

|a0||a1||a2||a7|372 187.