2.二项式系数的性质
(1)Cn=1,Cn=1.
Cn+1=Cn+Cn.
(2)Cn=Cn.
(3)当n是偶数时,项的二项式系数最大;当n是奇数时,与项的二项式系数相等且最大.
(4)(a+b)n展开式的二项式系数和:Cn+Cn+Cn+…+Cn=2n.
概念方法微思考
1.(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?
提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项展开式形式上有什么特点?
提示 二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Cn,Cn,一直到Cn,Cn.
3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗?
提示 不一定最大,当二项式中a,b的系数为1时,此时二项式系数等于项的系数,否则不一定.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Cnan-rbr是二项展开式的第r项.( × )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( √ )
(4)(a-b)n的展开式第r+1项的系数为Cnan-rbr.( × )
(5)(x-1)n的展开式二项式系数和为-2n.( × )
题组二 教材改编
2.(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于( )
A.80 B.40 C.20 D.10
答案 B
解析 Tr+1=C5(2x)r=C52rxr,当r=2时,x2的系数为C5·22=40.
3.若xn展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
答案 B
解析 二项式系数之和2n=64,所以n=6,Tr+1=C6·x6-r·xr=C6x6-2r,当6-2r=0,即当r=3时为常数项,T4=C6=20.
4.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B
解析 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.
题组三 易错自纠
5.(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( )
A.Cn B.Cn
C.Cn D.(-1)m-1Cn
答案 D
解析 (x-y)n二项展开式第m项的通项公式为
Tm=Cn(-y)m-1xn-m+1,
所以系数为Cn(-1)m-1.
6.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N+)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
解析 由二项式定理知,an=C10(n=1,2,3,…,11).
又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,
所以a6=C10,则k的最大值为6.
7.(x-y)4的展开式中,x3y3项的系数为________.
答案 6
解析 二项展开式的通项是Tr+1=C4(x)4-r·(-y)r=(-1)rC4,令4-2=2+2=3,解得r=2,故展开式中x3y3的系数为(-1)2C4=6.
题型一 二项展开式
命题点1 求指定项(或系数)
例1 (1)(2017·全国Ⅰ)x2(1+x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C
解析 因为(1+x)6的通项为C6xr,所以x2(1+x)6的展开式中含x2的项为1·C6x2和x2·C6x4.
因为C6+C6=2C6=2×2×1=30,
所以x2(1+x)6的展开式中x2的系数为30.
故选C.
(2)在(x2-4)5的展开式中,含x6的项为________.
答案 160x6
解析 因为(x2-4)5的展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=C5(x2)5-r(-4)r=(-4)rC5x10-2r,
令10-2r=6,得r=2,所以含x6的项为T3=(-4)2·C5x6=160x6.
(3)(x2+x+y)4的展开式中,x3y2的系数是________.
答案 12
解析 方法一 (x2+x+y)4=[(x2+x)+y]4,
其展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=C4(x2+x)4-ryr,
因为要求x3y2的系数,所以r=2,
所以T3=C4(x2+x)4-2y2=6(x2+x)2y2.
因为(x2+x)2的展开式中x3的系数为2,
所以x3y2的系数是6×2=12.
方法二 (x2+x+y)4表示4个因式x2+x+y的乘积,
在这4个因式中,有2个因式选y,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,
故x3y2的系数是C4·C2·C1=12.
命题点2 求参数
例2 (1)(2018·大连调研)若(x2-a)x10的展开式中x6的系数为30,则a等于( )
A.3 B.2 C.1 D.2
答案 D
解析 由题意得x10的展开式的通项公式是Tr+1=C10·x10-r·xr=C10x10-2r,x10的展开式中含x4(当r=3时),x6(当r=2时)项的系数分别为C10,C10,因此由题意得C10-aC10=120-45a=30,由此解得a=2,故选D.
(2)若ax6的展开式中常数项为16,则实数a的值为( )
A.±2 B.2 C.-2 D.±2
答案 A
解析 ax6的展开式的通项为Tr+1=C6(x2)6-r·axr=C6arx12-3r,令12-3r=0,得r=4.
故C6·a4=16,即a4=16,解得a=±2,故选A.
思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.
跟踪训练1 (1)(2017·全国Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
答案 C
解析 因为x3y3=x·(x2y3),其系数为-C5·22=-40,
x3y3=y·(x3y2),其系数为C5·23=80.
所以x3y3的系数为80-40=40.
故选C.
(2)(x+a)10的展开式中,x7项的系数为15,则a=______.(用数字填写答案)
答案 2
解析 通项为Tr+1=C10x10-rar,令10-r=7,
∴r=3,∴x7项的系数为C10a3=15,
∴a3=8,∴a=2.
题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题
例3 (1)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________.
答案 3
解析 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),
即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.
(2)(2018·沈阳质检)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为________.
答案 1或-3
解析 令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,
令x=-2,则m9=a0-a1+a2-a3+…-a9,
又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2
=(a0+a1+a2+…+a9)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9)=39,
∴(2+m)9·m9=39,∴m(2+m)=3,
∴m=-3或m=1.
(3)若xn的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为________.
答案 255
解析 xn展开式的第r+1项为
Tr+1=Cn(x2)n-r·xr
=Cn(-1)rx2n-3r,
当r=5时,2n-3r=1,∴n=8.
对(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
令x=1,得a0+a1+…+a8=28=256.
又当x=0时,a0=1,
∴a1+a2+…+a8=255.
思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m (a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=2,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=2.
跟踪训练2 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②
(1)∵a0=C7=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7=2=-1 094.
(3)(①+②)÷2,
得a0+a2+a4+a6=2=1 093.
(4)方法一 ∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187.
方法二 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|即为(1+2x)7展开式中各项的系数和,令x=1,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187.