2017届高三第八次模拟考试数学（理科）试卷
答题时间：120分
钟 满分150分
命题人：侯雪晨 校对人：王成栋
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集
，集合
，集合
，则
A.
B.
C.
D.
2.已知
是虚数单位，复数
对应于复平面内一点
，则
A.
B.
C.
D.
3.已知等比数列
中，公比
，
，则
A.
B.
C.
D.
4.设实数
，
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围为
A.
B.
C.
D.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
6.已知函数
（
，
）的零点构成一个公差为
的等差数列，
，则
的一个单调递增区间是
A.
B.
C.
D.
7.平面直角坐标系中，
已知
为坐标原点，点
、
的坐标分别为
、
. 若动点
满足
，其中
、
，且
，则点的轨迹方程为
A.
B.
C.
D.
8.已知双曲线与椭圆
的焦点相同，且它们的离心率
的乘积等于
，则此双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
9.运行如图所示的程序框图，输出的和
的值分别为
A.
，
B.
，
C.，
D.，
10.把
个相同的小球全部放入编号为
，，，的四个盒中，则不同的放法数为
A.
B.
C.
D.
11.已知函数
（
），若函数
有三个零点，则实数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
12.已知定义在
上的函数
的导函数为
，满足
，
，则
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸上.）
13.已知二项式
的展开式中含有
的项是第
项，则
.
14.若正态变量
服从正态分布
，则在区间
，
，
内取值的概率分别是
，
，
. 已知某大型企业为
名员工定制工作服，设员工的身高（单位：
）服从正态分布
，则适宜身高在
范围内员工穿的服装大约要定制 套.（用数字作答）
15.已知等差数列的前
项和为
，若
，
，则
的最小值为 .
16.已知四面体
的顶点都在同一个球的球面上，
，
，且满足
，
，
. 若该三棱锥的体积为
，则该球的球面面积为 .
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17.（本小题满分12分）
在
中，内角
，
，
的对边分别为，
，
.已知
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若
，求
的取值范围．
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱
中，
，平面
平面
，
，
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
19.（本小题满分12分）
司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了
名机动车司机，得到以下统计：在
名男性司机中，开车时使用手机的有
人，开车时不使用手机的有
人；在
名女性司机中，开车时使用手机的有
人，开车时不使用手机的有
人．
（Ⅰ）完成下面的
列联表，并判断是否有
的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
|
|
开车时使用手机 |
开车时不使用手机 |
合计 |
| 男性司机人数 |
|
|
|
| 女性司机人数 |
|
|
|
| 合计 |
|
|
|
（Ⅱ）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检辆，记这辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为
，若每次抽检的结果都相互独立，求的分布列和数学期望
．
参考公式与数据：
，其中
.
|
|
0.150 |
0.100 |
0.050 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
|
|
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
[来源:Z+xx+k.Com]
20.（本小题满分12分）
如图，椭圆
：
（
）的离心率为
，的长半轴长等于抛物线
：
被
轴所截得的线段长.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与
轴的交点为
，过坐标原点
的直线
与相交于点
、，直线
，
分别与相交于
，
．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）记
，
的面积分别是
，
．问：是否存在直线，使得
？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数
的导函数为.
（Ⅰ）判断的单调性；
（Ⅱ）若关于的方程
有两个实数根
，
（
），求证：
.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
（
为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点为
为直线与圆所截得的弦上的动点，求
的取值范围．
23．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
已知不等式
的解集为．
（
Ⅰ）求；
（Ⅱ）当，
时，证明：
.
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
2017届高三第八次模拟考试数学（理科）试卷答案
BADCA CCBBC BD
13.8
14.1359
15.
16.
17.解：（Ⅰ）在
中，
有
∴
∵
∴
，即
………………4分
而
，则
． ………………6分
（Ⅱ）由
得
，
[来源:Z|xx|k.Com]
∴
………………9分
∵
，∴
∴
∴
………………………………12分
18.解：（Ⅰ）依题意，四边形
为菱形，且
∴
为正三角形又
∴
为正三角形，又为
中点
∴
∵
，
，
…………………………4分
（Ⅱ）以为坐标原点，建空间直角坐标系，如图，
令
，则
，
∴
，
设平
的一个法向量为
，
由
得
，
取
，得
…………………………9分
又
的一个法向量为
∴
…………………………11分
故所求二面角的余弦值为
…………………………12分
19.解：（Ⅰ）
| [来源:Z#xx#k.Com] |
开车时使用手机 |
开车时不使用手机 |
合计 |
| 男性司机人数 |
40 |
15 |
55 |
| 女性司机人数 |
20 |
25 |
45 |
| 合计 |
60 |
40 |
100 |
…………………2分
因为
…………………4分
有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关 …………………5分
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从道路上行驶的大量机动车中随机抽检1辆，司机为男性且开车时使用手机的概率为
．
可取值是0，1，2，3，且
，
有：
…………………10分
的分布列为[来源:Z#xx#k.Com]
…………………11分
…………………12分
20.解：（Ⅰ）由
，从而
①
又由
得
，依题意有
②
由①②解得
，
，
故的方程分别为
．…………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，直线的斜率存在，设的方程为
，
，
由
得
∴
，
…………4分
又点的坐标为
，
所以
故
，即． ……………………………6分
（ⅱ）设直线的斜率为
，则直线的方程为
．
由
，解得
或
．
则点的坐标为
．
又直线的斜率为
，同理可得点B的坐标为
．
于是
．
由
得
．
解得或，
，则点的坐标为
．
又直线
的斜率为．同理可得点的坐标为
．
于是
．
故
，解得
或
．………10分
又由点，的坐标得，
．所以
．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为
和
………12分
21.解：（Ⅰ）
（
）
令
，由
（）
可得
在
上单调递减，
上单调递增
∴
∴在上单调递增 ……………………………4分
（Ⅱ）关于的方程即
有两个实数根，（）
由（Ⅰ）可知
，
令
，
则
∴
在内单调递增
①当
时，
即
成立
∴
即
∵
，
，且在上单调递减
∴
，即成立 …………………10分
②当
时，由
得
成立
综上,成立 …………………12分
（Ⅱ）或解：依题意，
，相减得
令
（
），则有
，
欲证成立
只需证
成立
即证
成立
即证
成立
令
（），只需证
成立
令
（）
即证时，
成立
令
（）
则
（）
可得
在
内递减，在
内递增
∴
∴
∴在上单调递增
∴
成立，故原不等式成立
22．解：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为，
所以
，
所以圆的普通方程
．…………………4分
（Ⅱ）由圆的方程，可得
，
所以圆的圆心是
，半径是2，
将代入得
，
又直线过
，圆的半径是2，所以
，
即的取值范围是
． …………………10分
23.解：（Ⅰ）
，
则原不等式等价于
或
，
解得
或
，
则
…………………5分
（Ⅱ）
∵，
∴
，
∴
∴ …………………10分